Teoría de conjuntos (Segunda parte)

Introducción

 

En el artículo "Teoría de conjuntos (Primera parte)" definí los objetos, los conjuntos y la relación de contención entre conjuntos con toda la exactitud que me puedo permitir. Como resumen:

• Los objetos son aquellas realidades que se pueden contar.
• Los conjuntos son agrupaciones de objetos con alguna propiedad en común.
• El cardinal de un conjunto es el número de objetos que agrupa el conjunto.
• Los conjuntos suelen representarse con letras latinas en mayúscula.
• Un conjunto A contiene al conjunto B si los objetos que agrupa B también están agrupados en A. Entonces B es suconjunto de A, y A es superconjunto de B

Entremos, entonces, con esta segunda parte para terminar la Teoría de conjuntos.  

 

Conjunto vacío

 

Para empezar, hablaremos del conjunto vacío. El conjunto vacío es el conjunto que no tiene ningún objeto. Se representa con el símbolo " Ø ".

 

La pregunta que puede surgir es: si un conjunto es una agrupación de objetos, y el conjunto vacío no tiene objetos ¿qué sentido tiene definirlo como conjunto?

 

Yo os contesto: el conjunto vacío es a los conjuntos, como el cero es a los números.

 

No debería haber necesidad de utilizar una herramienta que sirve para contar (los números) si no hay algo que se pueda contar. ¿Qué necesidad hay de contar un vacío? Por suerte, hace un milenio que nos dimos cuenta de su necesidad.

 

Gracias al número cero:

• Podemos utilizar el concepto de ausencia en las operaciones matemáticas. Sumar cero, aunque no sirva para nada, permite utilizar esta operación.
• Podemos definir puntos de referencia, el inicio del espacio y los acontecimientos de nuestras experiencias.

Y muchas cosas más. Ahora mismo no es relevante conocer las bondades y maravillas del cero. Sólo con entender el paralelismo que he remarcado antes entre el cero y el conjunto vacío, ya me es suficiente.

 

Por último, aunque resulte obvio, hay que remarcar que el cardinal del conjunto vacío es igual a cero.

 

Unión e intersección de conjuntos

 

Imaginemos que estamos comprando una tostadora. Vemos el escaparate y enseguida nos abrumamos con tantos modelos, especificaciones, diseños y colores. Así que vas al vendedor, y le pides que te busque una tostadora barata y en la que quepan dos tostadas a la vez. El vendedor, presto se va al almacén a ver qué te puede proporcionar.

 

El stock de tostadoras de la tienda es grande, así que el vendedor empieza a clasificarlos. Definimos los siguientes conjuntos:

 

A ≡ "Tostadoras baratas" ≡ { "Tostadoras baratas sin dos rejillas" , "Tostadoras baratas con dos rejillas" } 

 

B ≡ "Tostadoras de dos rejillas" ≡ { "Tostadoras baratas con dos rejillas" ,  "Tostadoras caras con dos rejillas" }

 

 A partir de esta información, definiremos dos relaciones nuevas entre conjuntos.

 

A ∩ B ≡ "Tostadoras baratas Y de dos rejillas" = { "Tostadoras baratas con dos rejillas" }

 

A U B ≡ "Tostadoras baratas O de dos rejillas" = { "Tostadoras baratas sin dos rejillas", "Tostadoras baratas con dos rejillas", "Tostadoras caras con dos rejillas" }

 

El primer conjunto es el resultado de una operación intersección, y el segundo conjunto es el resultado de la operación unión.

 

La intersección se define como:

1. Una operación entre dos conjuntos.
2. Que da como resultado un conjunto.
3. Y que se define con todos los objetos que tengan en común entre sí los primeros conjuntos.

Digerámoslo un poco.

• Si "A" y "B" son conjuntos, entonces "A ∩ B" también es un conjunto y, por lo tanto, debemos tratarlo como tal.
• He usado el signo igual ("="), y no la identidad ("≡") porque la intersección tiene reglas bien establecidas para ser definido. Así que, conociendo los conjuntos "A" y "B", podemos establecer su intersección "A ∩ B".
• La intersección es una operación dos a dos, es decir, sólo podemos definir la intersección entre dos conjuntos a la vez. Si queremos establecer la intersección entre tres o más conjuntos, debemos primero realizar la intersección entre dos conjuntos, y el conjunto resultado, realizar la intersección con el siguiente conjunto (hasta acabar con todos los conjuntos de la operación).
• En el caso de la venta de tostadoras, el conjunto "A ∩ B" agrupa todas esas tostadoras que reúnen las características que queremos nosotros como consumidores (es decir, el precio barato y las dos rejillas), o lo que es lo mismo, los objetos que hay en común entre el conjunto "A" y el "B".
• En caso de que no haya ninguna tostadora que cumpla nuestros criterios, entonces no existiría ningún conjunto intersección (porque no hay objetos en común entre ambos conjuntos), y se definiría como: "A ∩ B" = { "Ø" }.

La unión se define como:

1. Una operación entre dos conjuntos.
2. Que da como resultado un conjunto.
3. Y que se define con todos los objetos que tengan los primeros conjuntos.

Los tres primeros puntos de la aclaración de la intersección, son aplicables también a la unión. Además:

• Los objetos comunes entre ambos conjuntos de la operación unión no aparecen repetidos en el conjunto resultado. Sólo aparecen una sóla vez. Esta propiedad se aclarará en la sección "Principio de inclusiones y exclusiones", más adelante.
• En el caso de la venta de tostadoras, el conjunto "A U B" agrupa todas las tostadoras que tenga alguna característica en la que tengamos interés como consumidor (es decir, precio barato o las dos rejillas)

Veamos un ejemplo gráfico

 

Definimos los conjuntos "MIS FORMAS ROJAS" y "MIS CÍRCULOS" envolviendo con un polígono los objetos que agrupan.

 

Apliquemos la operación intersección a estos dos conjuntos. Dará como resultado el conjunto "MIS CÍRCULOS ROJOS", pues agrupa todos los objetos que hay en común entre "MIS FORMAS ROJAS" y "MIS CÍRCULOS".

 

Finalmente, apliquemos la operación unión. Dará como resultado el conjunto "MIS FORMAS ROJAS Y MIS CÍRCULOS", pues agrupa tanto los objetos que hay en "MIS FORMAS ROJAS" como en "MIS CÍRCULOS".

 

Complementario de un conjunto

 

Imaginemos ahora que preparamos un plato de comida para un niño. Además, nos preocupamos por su salud y procuramos que haya un poco de variedad en el plato. Freímos un trozo de carne y unas patatas fritas, cortamos algunas piezas de verdura, y lo emplatamos todo a la vez.

 

Y ahora resulta que el niño odia la verdura. Así que cuando le pongamos el plato, apartará la verdura, se comerá la carne y las patatas y se retirará de la mesa para jugar por ahí.

 

Dejando aparte los consejos y advertencias de Supernanny, nuestro pequeño acaba de ejemplificar sin querer el concepto de conjunto complementario. Definimos el conjunto "Plato nutritivos" y el conjunto "Cosas que se ha comido el niño" a partir de los objetos del plato.

 

A ≡ "Plato nutritivo" ≡ { "trozo de carne" ,  "patatas fritas" , "verdura" } 

B ≡ "Cosas que se ha comido el niño" ≡ { "trozo de carne" ,  "patatas fritas" }

 

Podemos entonces definir un tercer conjunto, llamado "Cosas que NO se ha comido el niño".

 

C ≡ "Cosas que NO se ha comido el niño" ≡ { "verdura" }

 

Analicemos estos tres conjuntos.

• B y C son subconjuntos de A (vemos que los objetos de B y C también están en A)
• B y C contienen, entre los dos, todos los objetos del conjunto A (es decir "B U C" = "A")
• B y C no tienen objetos en común (es decir "B ∩ C" = { "Ø" } )

A partir de estos tres apuntes decimos que el conjunto B y C son complementarios.

 

Formalmente: dados un conjunto "A" y un conjunto "B", que es subconjunto de "A", se define como "¬B" (*1) o el complementario del conjunto "B" al subconjunto de "A" que cumple las siguientes condiciones:

1. "B U ¬B" = "A"
2. "B ∩ ¬B" = { "Ø" }

Usando el ejemplo de la comida, el complementarios de "Cosas que se ha comido el niño" sería el conjunto "Cosas que NO se ha comido el niño", y viceversa, ya que la relación puede invertirse.

 

Veamos un par de apuntes sobre esto:

• Es necesario definir un sobreconjunto del conjunto al cual aplicamos la operación de complementariedad. Es decir, si no sabemos qué hay en el plato, no podemos decir qué se ha comido el niño o qué ha dejado en el plato.
• La operación de complementariedad es, al fin y al cabo, una negación. Aquellos objetos que no pertenezcan a un conjunto, pertenecerán a su complementario.
• La intersección de un conjunto y su complementario siempre es el conjunto vacío.

Otro ejemplo gráfico:

 

 

A partir del conjunto "MIS FORMAS" puedo agrupar sus objetos según sean triangulares o no triangulares, creando los conjuntos "MIS FORMAS TRIANGULARES" y "MIS FORMAS NO TRIANGULARES".

 

De este modo, vemos que estos dos últimos conjuntos son complementarios entre sí, porque no tienen elementos en común y la suma de sus elementos da el conjunto "MIS FORMAS".

 

Principio de inclusiones y exclusiones

 

La siguiente operación entre conjuntos que presentaré tiene más sentido matemático que práctico. Se aplica sobretodo cuando se trabaje con cardinales de conjuntos, más que con objetos de conjuntos.

 

Cojamos dos palabras cualquiera: gato y perro. Como todas las palabras, está formada por un número de letras ordenadas. Como las letras pueden contarse, entonces podemos definir conjuntos con ellas. A partir de perro y gato, definimos:

 

A ≡ "Letras de GATO" ≡ { "G" , "A" , "T" , "O" }

B ≡ "Letras de PERRO" ≡ { "P" , "E" , "R" , "R" , "O" }

 

Definimos entonces un tercer conjunto a partir de los dos anteriores: el conjunto suma.

 

A + B ≡ "Letras de GATO y PERRO" ≡ { "G" , "A" , "T" , "O" , "P" , "E" , "R" , "R" , "O" }

 

La suma se define como:

1. Una operación entre dos conjuntos.
2. Que da como resultado un conjunto.
3. Y que se define con todos los objetos que tengan los primeros conjuntos, repitiendo aquellos objetos que tengan en común.

La diferencia entre la suma y la unión es sutil, pero importante. La unión recoge todos los objetos de los conjuntos que la forma, sin repetir aquellos objetos que tengan en común. La suma recoge todos los objetos de ls conjuntos que la forma, repitiendo si es preciso aquellos objetos que tengan en común.

 

Definamos en conjunto unión del ejemplo anterior:

 

A U B ≡ "Letras de GATO y PERRO" ≡ { "G" , "A" , "T" , "O" , "P" , "E" , "R" , "R" }

 

Dos ideas a rebatir.

• Primera, la diferencia entre la unión y la suma de estos dos conjuntos es la letra O. En la suma, hemos cogido todos los objetos de A y B y los hemos puesto juntos. En la unión, hemos cogido todos los objetos de A y B, los hemos puesto juntos y hemos rechazado aquellos que tenían en común (la letra O).
• Y segunda, perro tiene dos erres, ¿por qué no la hemos rechazado en la unión, si se repite? Es porque sólo se rechazan aquellos elementos que tengan en común los dos conjuntos de la operación.

Finalmente, presentaré el Principio de Inclusiones y Exclusiones, una relación aritmética entre operaciones de conjuntos. Para el caso de dos conjuntos (puede generalizarse a cualquier número de conjuntos, pero no nos importa ahora), tenemos:

 

"A" + "B"  = "A U B" + "A ∩ B"

 

La suma de dos conjuntos A y B es igual a la suma de la unión y la intersección de dichos conjuntos.

 

La mayor implicación de este principio es que se define una igualdad entre operaciones de conjuntos, la cual podemos usar para deducir o calcular nuevos conjuntos. O lo que es mejor, podemos utilizar las herramientas de la aritmética para tratar con conjuntos (ahí entraría los cardinales): podremos sumar y restar, y aplicar las propiedades asociativas, conmutativas y elemento neutro.

 

Veamos cómo con el ejemplo de las palabras perro y gato, se cumple el Principio de Inclusiones y Exclusiones.

 

Primero con conjuntos, definamos la intersección:

 

A ∩ B = { "O" } 

 

Y la relación:

 

"A" + "B"  = "A U B" + "A ∩ B"

{"P","E","R","R","O"} + {"G","A","T","O"} = {"P","E","R","R","O","G","A","T"} + {"O"} 

 

El mismo número de objetos a la izquierda que a la derecha de la igualdad, por lo que la relación es cierta.

 

Y con cardinales. Definámoslos primero:

 

N _"A" = 4

N _"B" = 5

N _{"A U B"} = 8

N _{"A ∩ B"} = 1 

 

Y otra vez la relación:

 

N _"A" + N _"B" = N _{"A U B"} +N _{"A ∩ B"}

4 +5 = 8 +1

 

Es obvio que se cumple la relación.

 

Conclusión

 

Con todo lo dicho, ya podemos trabajar con conjuntos. Recordad que la probabilidad se basa en escoger un objeto de un conjunto bajo criterios que no controlamos (aleatorios).

 

Por último, quiero concluir con un resumen de todo lo expuesto aquí:

• El conjunto vacío es aquel conjunto que no tiene objetos en él.
• La intersección es una operación entre dos conjuntos en las que se agrupa en un tercer conjunto (el conjunto intersección) los objetos que hayan en común entre los primeros conjuntos.
• La unión es una operación entre dos conjuntos en las que se agrupa en un tercer conjunto (el conjunto intersección) los objetos que hayan en los primeros conjuntos, sin repetir aquellos objetos que tengan en común.
• Dos conjuntos son complementarios entre sí si la intersección entre ellos es el conjunto vacío y la unión entre ellos contiene todos los elementos de un sobreconjunto definido anteriormente.
• La suma es una operación entre dos conjuntos en las que se agrupa en un tercer conjunto (el conjunto intersección) los objetos que hayan en los primeros conjuntos, repitiendo aquellos objetos que tengan en común.
• El Principio de Inclusiones y Exclusiones nos indica que la suma de dos conjuntos cualesquiera es igual a la suma de la unión y de la intersección de dichos conjuntos.

 

Espero que no haya sido muy denso, y me despido hasta la próxima.

 

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(*1) En verdad, el conjunto complemetario se denota con un guión sobre la letra que representa el conjunto. Yo he usado el símbolo lógico de negación "¬", primero, porque OverBlog no me permite añadir ese carácter y, segundo, aunque no sea lo mismo (incluso son disciplinas distintas), a efectos prácticos, puede tomarse la negación como una equivalencia a la complementariedad de un conjunto.