Teoría de conjuntos (Primera parte)
Introducción
Vamos a ponernos a contar. Coged un puñado de objetos (no sé, pinzas, cucharas, dados, lo que queráis) y empezad a contar: uno, dos, tres.. hasta que se acabe ese algo. Y ahora la pregunta del millón: ¿para qué sirve esta tontería?
Para darnos cuenta de una cosa. Para contar necesitamos una cantidad de objetos cualquiera para que puedan ser contados. Y también para enumerar, clasificar u ordenar. Todas estas "acciones" necesitan de esos objetos para que tengan sentido. Así que primero veremos cómo definimos estos objetos para que luego podamos ver cómo funcionan esas "acciones".
Y la probabilidad, como más adelante veréis, será tratada como una de estas "acciones" (*1).
Objetos
Me referiré a objetos como todas aquellas cosas que se puedan contar. Los números, los lápices, o las formas, son ejemplos de objetos.
Este esquema muestra una colección de cuadrados, círculos y triángulos de varios colores, es decir, una colección de objetos.También vemos que hay objetos que se repiten. A efectos de la teoría de conjuntos, se considera que cada objeto que se repite tiene identidad propia y es diferente a los demás de su clase.
Conjunto y elementos
Un conjunto es una agrupación de objetos con una o más propiedades en común. Las caras de un dado o de una moneda, los números o los libros de una estantería son ejemplos de objetos con propiedades en común que se pueden agrupar entre sí.
Un elemento es un conjunto formado por un solo objeto. Puede resultar raro, pero, en matemáticas, una agrupación puede estar formado por una sóla cosa. Pensad por ejemplo en los "Personajes independientes" de Warhammer 40k: aunque sólo esté formada por una miniatura, se la considerá igualmente una unidad.
Un conjunto se define con la enumeración de todos los objetos de los que está formado. En otras palabras, para saber distinguir un conjunto de otros (a esto, en matemáticas, lo llamamos definir: distinguir dos o más cosas de una naturaleza tan similar que podemos confundirnos entre ellas), debo hacer inventario de todos los objetos de los cuales está formado. Por ejemplo, sabemos que una moneda tiene dos caras, llamadas cara y cruz. De este modo, hemos definido el conjunto "caras de una moneda" enumerando todos sus objetos: "cara" y "cruz".
Siguiendo con el ejemplo de las formas, aquí véis cómo agrupo algunos objetos de mi colección de formas, englobándolos con una línea. En este esquema he formado dos conjuntos en el que agrupo todas mis formas de un mismo color: el conjunto "MIS FORMAS ROJAS" y el conjunto "MIS FORMAS LILAS". Estos dos conjuntos están bien definidos porque muestro gráficamente todos los objetos de los que están formados (los he enumerado).
En este otro, las agrupaciones van por la forma en sí. Tenemos entonces el conjunto "MIS TRIÁNGULOS" y el conjunto "MIS CÍRCULOS"
Cardinal de un conjunto
El cardinal de un conjunto es el número de objetos del que está formado un conjunto. Por ejemplo, el cardinal del conjunto "caras de una moneda" es 2, porque está formado por 2 elementos, "cara" y "cruz".
El cardinal del conjunto "MIS TRIÁNGULOS" que he definido en el esquema anterior es igual a 4 (hay cuatro triángulos). El cardinal de "MIS CÍRCULOS" es igual a 6.
Por la misma regla de tres, el cardinal de un elemento es 1.
Notación
Los matemáticos son eficientes (eufemismo de vagos, XD), y les gusta decir muchas cosas en muy poco espacio. (*2) Y son muy buenos haciéndolo (*3). Para eso utilizan símbolos, ya sean letras, marcas o formas simples.
Así que para evitar escribir todo el rato "caras de una moneda", escriben sólo una letra latina mayúscula (como la A). Queda entonces:
A ≡ "caras de una moneda"
El símbolo de las tres rayas horizontales es el signo de la identidad. Significa que las cosas que hay en cada lado se han determinado iguales de forma arbitraria (o sea, son iguales porque lo digo yo, XD). No hay que confundir con el signo de igualdad ( = ), que sirve para mostrar equivalencias entre dos expresiones matemáticas (o sea, son iguales porque lo dice las matemáticas).
La enumeración de los elementos de un conjunto se realiza poniendo todos los elementos separados con comas entre síy englobados en unos corchetes:
"caras de una moneda" ≡ { "cara" , "cruz" }
Recordad que he definido el conjunto "caras de una moneda" como la unión de los elementos "cara" y "cruz".
Por último, el cardinal de un conjunto se denota como N subindizado con el nombre del cardinal:
N "caras de una moneda" ≡ NA = 2
Esto último significaría que el cardinal de "caras de una moneda" es igual a 2.
Subconjuntos y superconjuntos
La cosa puede complicarse más. Hemos dicho que un conjunto es una agrupación de objetos similares. ¿Pero qué pasaría si estos objetos, en vez de ser elementos, son grupos de los mismos? El objeto se ha transformado en conjunto. Es decir, un conjunto puede estar formado por una agrupación de otros conjuntos. Estos conjuntos, a la vez pueden estar formados por otros conjuntos, y así podemos seguir hasta que los conjuntos finales sólo estén formados por elementos.
Otro ejemplo para entenderlo: aquí tenemos un conjunto, llamado "MIS FIGURAS ROJAS", que está definido por la agrupación de otros 2 conjuntos, llamados "MIS CÍRCULOS ROJOS" y "MIS CUADRADOS ROJOS".
La relación existente entre el conjunto grande del esquema y los otros 2 conjuntos se llama contención. Si un conjunto A cualquiera agrupa todos los elementos que hay en un conjunto B (como hace el conjunto "MIS FIGURAS ROJAS" con los objetos del conjunto "MIS CUADRADOS ROJOS"), entonces decimos que A contiene a B. Se representa "A C B".
Por último decimos que si el conjunto A contiene al conjunto B, entonces el conjunto B es un subconjunto de A y el conjunto A es un superconjunto de B. Usando el esquema de esta sección para formalizarlo:
- El conjunto "MIS CÍRCULOS ROJOS" y el conjunto "MIS CUADRADOS ROJOS" son subconjuntos del conjunto "MIS FIGURAS ROJAS".
- Y a la vez, "MIS FIGURAS ROJAS" es un superconjunto de "MIS CUADRADOS ROJOS" y "MIS CÍRCULOS ROJOS"
Conclusión
Sé que esto parece una clase. Por desgracia, no soy capaz de hacerlo de otra forma. Siempre tengo la sensación de que me dejo algo. Quiero sobretodo transmitir la idea completa, lo más correctamente posible. Así que informo de antemano que el cariz de los siguientes artículos será similar al de este.
Lo que sí puedo corregir es la pesadez de todo este discurso, rebajando la densidad de ideas, añadiendo gráficos y ejemplo más claros, o yo qué sé cómo. Por eso agradeceré los comentarios de crítica que me dirijáis.
Sobre la Teoría de conjuntos, quiero explicar poca cosa más: la unión, intersección y negación de conjuntos, y un poco de operaciones algebraicas sobre conjuntos. Después del siguiente artículo, ya habré acabado y entraré con la Lógica, la última base para comenzar con Probabilidad.
Gracias por haberme leído y hasta el próximo artículo.
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(*1) Toda acción en la que interviene el azar puede reducirse a esta acción básica: seleccionar aleatoriamente un sólo objeto de entre un grupo de objetos.
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(*2) No es nada raro que se haga esto, pensad por ejemplo en los mensajes de texto: "TKM" significa "Te quiero mucho" y "XOXOXO" significa "Te envío muchos besos".
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(*3) Mirad la expresión siguiente.
"2 + 2 = 4"
Todo el mundo entiende qué significa esto. Pero un matemático entiende:
"La aplicación suma, utilizada sobre los elementos "2" y "2", pertenecientes a un cuerpo no definido, es equivalente al elemento "4" del mismo cuerpo o superconjunto".
Y seguro que me dejo algo. De un principio ya os digo que no es necesario llegar a este nivel, ni siquiera olerlo, para aprender cómo aplicar las matemáticas en los wargames.